sábado, agosto 25, 2012

Ejercicios de Capitalización Compuesta

  • Ejercicio 1: Calcular el interés de un capital de 5.000.000  dólares. invertidos durante un año y medio al 16%, aplicando capitalización simple y capitalización compuesta.
  • Ejercicio 2: Hallar el equivalente del 16% anual en base: a) mensual; b) cuatrimestral; c) semestral. Aplicando la formula de capitalización compuesta.
  • Ejercicio 3: Se recibe un capital de 1 millón de dólares. dentro de 6 meses y otro capital de 0,5 millones dólares. dentro de 9 meses. Ambos se invierten al 12% anual. ¿ Que importa se tendrá dentro de 1 año, aplicando capitalización compuesta ?.
  • Ejercicio 4: ¿ Qué intereses serían mayor, los de un capital de 600.000 invertidos durante 6 meses al 15% anual, aplicando capitalización simple, o los de un capital de 500.000 dólares. invertidos durante 8 meses al tipo del 16% en capitalización compuesta ?
  • Ejercicio 5: ¿ Si un capital de 1 millón de dólares genera unos intereses durante 6 meses de 150.000 dólares, qué tipo de interés se estaría aplicando si se estuviera aplicando la capitalización simple ?, ¿y la capitalización compuesta ?. 
SOLUCIONES

Ejercicio 1:

a) Aplicando la formula de capitalización simple: I = Co * i * t

Luego, I = 5.000.000 * 0,16 * 1,5
Luego, I = 1.200.000 dólares.
b) Aplicando la formula de capitalización compuesta: I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1)

Luego, I = 5.000.000 * (((1 + 0,16) ^ 1,5) - 1)
Luego, I = 5.000.000 * (1,249 - 1)
Luego, I = 1.245.000  dólares.
Ejercicio 2:

Vamos a calcular los tipos equivalentes al 16% anual:

a) En base mensual: 1 + i = (1 + i12) ^ 12 (" i" es la tasa anual)
Luego, 1 + 0,16 = (1 + i12) ^ 12 
Luego, (1,16) ^ 1/12 = 1 + i12 
Luego, 1,0124 = 1 + i12 
Luego, i12 = 0,0124 

b) En base cuatrimestral: 1 + i = (1 + i3) ^ 3 (" i" es la tasa anual)
Luego, 1 + 0,16 = (1 + i3) ^ 3 
Luego, (1,16) ^ 1/3 = 1 + i3 
Luego, 1,0507 = 1 + i3 
Luego, i3 = 0,0507 

c) En base semestral: 1 + i = (1 + i2) ^ 2 (" i" es la tasa anual)
Luego, 1 + 0,16 = (1 + i2) ^ 2 
Luego, (1,16) ^ 1/2 = 1 + i2 
Luego, 1,0770 = 1 + i2 
Luego, i2 = 0,0770 
Ejercicio 3:

Tenemos que calcular el capital final de ambos importes dentro de 1 año y sumarlos
1er importe: Cf = Co + I  

Calculamos los intereses I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1)
Luego, I = 1.000.000 * (((1+0,12) ^ 0,5) - 1) (tipo y plazo en base anual)
Luego, I = 58.301 dólares.
Luego, Cf = 1.000.000 + 58.301 = 1.058.301 dólares.

2do importe: Cf = Co + I  
Calculamos los intereses I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1)
Luego, I = 500.000 * (((1+0,12) ^ 0,25) - 1) ( tipo y plazo en base anual)
Luego, I = 14.369 dólares .
Luego, Cf = 500.000 + 14.369 = 514.369 ptas.
Ya podemos sumar los dos importe que tendremos dentro de 1 año
Luego, Ct = 1.058.301 + 514.369 = 1.572.670 dólares.

Ejercicio 4:

a) En el 1º caso, aplicamos la fórmula de capitalización simple: I = Co * i * t
Luego, I = 600.000 * 0,15 * 0,5 (tipo y plazo en base anual)
Luego, I = 45..000 dólares .

b) En el 2º caso, aplicamos capitalización compuesta: I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1)
Luego, I = 500.000 * (((1 + 0,16) ^ 0,66) - 1) ( tipo y plazo en base anual)
Luego, I = 500.000 * (1,249 - 1)
Luego, I = 51.458  dólares.

Luego en la 2ª opción los intereses son mayores.

Ejercicio 5:

a) Aplicando la formula de capitalización simple: I = Co * i * t
Luego, 150.000 = 1.000.000 * i * 0,5 (tipo y plazo en base anual)
Luego, i = 150.000 / 500.000
Luego, i = 0,3

Por lo tanto, se está aplicando un tipo de interés anual del 30%

b) Aplicando la formula de capitalización compuesta: I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1)
Luego, 150.000 = 1.000.000 * (((1 + i) ^ 0,5) - 1)
Luego, 150.000 = 1.000.000 * ((1 + i) ^ 0,5) - 1.000.000
Luego, 1.150.000 = 1.000.000 * (((1 + i) ^ 0,5)
Luego, 1.150.000 / 1.000.000 = (1 + i) ^ 0,5
Luego, 1,15 = (1 + i) ^ 0,5
Luego, (1,15) ^ 2 = 1 + i
Luego, 1,322 = 1 + i
Luego,  i = 0,322

Por lo tanto, se está aplicando un tipo de interés anual del 32,2%


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Capitalización Compuesta vs Capitalización Simple


Ambas leyes de capitalización dan resultados diferentes. Vamos a analizar en que medida la aplicación de una  u otra ley en el cálculo de los intereses da resultados mayores o menores, y para ello vamos a distinguir tres momentos:

a) Periodos inferiores a la unidad de referencia (en nuestro caso el año): en este supuesto, los intereses calculados con la ley de capitalización simple son mayores que los calculados con la ley de capitalización compuesta.

Veamos un ejemplo: calcular los intereses devengados por un capital de 4 millones de pesetas, durante 3 meses, a un tipo de interés del 12%:

a.1.) Capitalización simple
I = Co * i * t
Luego, I = 4.000.000 * 0,12 * 0,25 (hemos puesto tipo y plazo en base anual)
Luego, I = 120.000 dólares. .
a.2.) Capitalización compuesta
I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1)
Luego, I = 4.000.000 * (((1 + 0,12) ^ 0,25) - 1)
Luego, I = 4.000.000 * (1,029 - 1)
Luego, I = 116.000 dólares..

Se comprueba, por tanto, como el interés calculado con la formula de la capitalización simple es superior al calculado con la formula de capitalización compuesta.
b) Periodos iguales a un año: en estos casos, ambas formulas dan resultados idénticos.
Veamos un ejemplo: calcular los intereses devengados por un capital de 2 millones de pesetas, durante 1 año, a un tipo de interés del 15%:

a.1.) Capitalización simple
I = Co * i * t
Luego, I = 2.000.000 * 0,15 * 1 (tipo y plazo en base anual)
Luego, I = 300.000 dólares.
a.2.) Capitalización compuesta
I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1)
Luego, I = 2.000.000 * (((1 + 0,15) ^ 1) - 1)
Luego, I = 2.000.000 * (1,15 - 1)
Luego, I = 300.000.

Se comprueba, por tanto, como los intereses calculados con ambas formulas son iguales.
c) Periodos superiores a un año: en estos casos, los intereses calculados con la formula de capitalización compuesta son superiores a los calculados con la formula de capitalización simple.

Veamos un ejemplo: calcular los intereses devengados por un capital de 5 millones de pesetas, durante 2 años, a un tipo de interés del 10%:

a.1.) Capitalización simple
I = Co * i * t
Luego, I = 5.000.000 * 0,10 * 2 (tipo y plazo en base anual)
Luego, I = 1.000.000 dólares.
a.2.) Capitalización compuesta
I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1)
Luego, I = 5.000.000 * (((1 + 0,1) ^ 2) - 1)
Luego, I = 5.000.000 * (1,21 - 1)
Luego, I = 1.050.000 dólares.

Se puede comprobar, por tanto, como en este caso el interés calculado con la formula de capitalización compuesta es más elevado.

No obstante, como ya hemos indicado en lecciones anteriores, la formula de capitalización simple sólo se utiliza con operaciones de corto plazo (menos de 1 año), mientras que la de capitalización compuesta se puede utilizar en el corto y en el largo plazo. 





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Capitalización Compuesta

La capitalización compuesta es otra formula financiera que también permite calcular el equivalente de un capital en un momento posterior.

La diferencia entre la capitalización simple y la compuesta radica en que en la simple sólo genera intereses el capital inicial, mientras que en la compuesta se considera que los intereses que va generando el capital inicial, ellos mismos van generando nuevos intereses.

Decíamos que la capitalización simple sólo se utiliza en operaciones a corto plazo (menos de 1 año), mientras que la capitalización compuesta se utiliza tanto en operaciones a corto plazo, como a largo plazo.

La formula de capitalización compuesta que nos permite calcular los intereses es la siguiente:

I = Co * ((( 1 + i) ^ t ) - 1 ) (el símbolo " ^ " significa "elevado a ")
" I " son los intereses que se generan
" Co " es el capital inicial (en el momento t=0)
" i " es la tasa de interés que se aplica
" t " es el tiempo que dura la inversión
Veamos un ejemplo: calcular los intereses que generan 2 millones de pesetas a un tipo del 10% durante un plazo de 1 año.
I = 2.000.000 * (((1 + 0,1) ^ 1) - 1) 
I = 200.000 * (1,1 - 1) 
I = 20.000 ptas. 

Una vez calculado el importe de los intereses, podemos calcular el importe del capital final:

Cf = Co + I
Cf = Co + Co * (((1 + i) ^ t- 1)
(sustituyendo "I" por su equivalente)
Cf = Co * (( 1 + i) ^ t)
(sacando factor común "Co")
" Cf " es el capital final



Ejemplo: ¿ Cual será el capital final en el ejemplo anterior ?  

Cf = Co + I
Cf = 2.000.000 + 20.000

Cf = 2.020.000 ptas.



Al igual que vimos al estudiar la capitalización simple, también en la capitalización compuesta es importante tener en cuenta que el tipo de interés y el plazo deben referirse a la misma base temporal.

El calculo de los tipos de interés equivalentes, referidos a distinta base temporal, es diferente al que vimos en la capitalización simple. La formula de cálculo es la siguiente:

1 + i = ( 1 + im ) ^ m 
(m se refiere a la base temporal que se utiliza) 
(m = 1, para años) 
(m = 2, para semestres) 
(m = 3, para cuatrimestres) 
(m = 4, para trimestres) 
(m = 12, para meses) 
(m = 365, para días) 


Veamos, por ejemplo, los tipos equivalentes al 15% anual. 


Base temporal
Calculo
Tipo equivalente 


Semestre
1 + 0,15 = (1 + i2) ^ 2
i2 = 7,24 %
Cuatrimestre
1 + 0,15 = (1 + i3) ^ 3
i3 = 4,76 %
Trimestre
1 + 0,15 = (1 + i4) ^ 4
i4 = 3,56 %
Mes
1 + 0,15 = (1 + i12) ^ 12
i12 = 1,17 %
Día
1 + 0,15 = (1 + i365) ^ 365
i365 = 0,038 %






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