lunes, agosto 27, 2012

Las Rentas Variables

Los términos de las rentas variables son diferentes, por lo que no se puede aplicar ninguna fórmula de simplificación.
El método que se utilizará es el de descontar cada uno de estos términos al momento inicial (calculo del valor inicial) o al momento final (cálculo del valor final).
Dentro de estas rentas variables se podrán presentar cada una de las modalidades que hemos estudiado:
Prepagable
Pospagable
Anticipadas
Diferidas
Ejemplo: Calcular el valor actual de una renta semestral, prepagable, con un tipo anual del 12%. Los términos de la renta son los siguientes:
Periodo 
Término (ptas.)
x
1º sem.
100.000
2º sem.
200.000
3º sem.
150.000
 4º sem.
300.000
 5º sem.
100.000
6º sem.
400.000

xx
1º) se calcula el tipo de interés semestral equivalente:  
x
1 + i = (1 + i2)^2  (siendo i2 el tipo semestral equivalente)
1 + 0,12 = (1 + i2)^2 
luego, i2 = 5,83%  
xx
2º) Se descuenta cada término al momento inicial:  
x

Periodo 
Término (ptas.)
Factor de Descuento
Término descontado
x
1º sem.
100.000
1
100.000
2º sem.
200.000
(1 + 0,0583)^-1
188.980
3º sem.
150.000
(1 + 0,0583)^-2
133.935
 4º sem.
300.000
(1 + 0,0583)^-3
253.110
 5º sem.
100.000
(1 + 0,0583)^-4
79.720
6º sem.
400.000
(1 + 0,0583)^-5
301.312
x
Suma de los términos descontados
1.357.057

xx
Por lo tanto, el valor actual de esta renta es de 1.357.057 ptas.  
Ejemplo: Calcular el valor final de una renta trimestral pospagable que se encuentra anticipada dos años, aplicando un tipo de interés anual del 9%. Los términos de la renta son los siguientes:
Periodo 
Término (ptas.)
x
1º trim.
100.000
2º trim.
200.000
3º trim.
300.000
 4º trim.
400.000

xx
1º) se calcula el tipo de interés trimestral equivalente:  
x
1 + i = (1 + i4)^4  (siendo i4 el tipo trimestral equivalente)
1 + 0,09 = (1 + i4)^4 
luego, i4 = 2,178%  
xx
2º) Se capitaliza cada término al momento final de la renta:  
x

Periodo 
Término (ptas.)
Factor de Capitalización
Término capitalizado
x
1º trim.
100.000
(1 + 0,02178)^3
106.677
2º trim.
200.000
(1 + 0,02178)^2
208.807
3º trim.
300.000
(1 + 0,02178)^1
306.534
 4º trim.
400.000
1
400.000
x
Suma de los términos capitalizados
1.022.018

xx
De esta manera se ha calculado el valor final de esta renta en el momento final (vencimiento del 4º término), pero esta renta se encuentra anticipada 2 años. 
x
3º) El valor final calculado se capitaliza 2 años:  
x
Vk = Vn (1 + i )^2  (se utiliza el tipo anual, ya que la base temporal es el año)
Vk = 1.022.018 (1 + 0,09 )^2
Vk = 1.214.260 ptas.
Por lo tanto, el valor final de esta renta diferida (Vk) es de 1.214.260 ptas. 

Renta Diferida y Anticipada


B) RENTA ANTICIPADA

Comentamos en la lección anterior que en las rentas anticipadas, lo que varía respecto a los modelos normales que hemos analizado es el cálculo del valor final, ya que el cálculo del valor inicial es el mismo.
Vamos a suponer que entre el momento final y el de la valoración transcurren "k" periodos.
La diferencia en el cálculo del valor final está en que en los modelos normales los importes se capitalizan hasta el momento final de la renta, mientras que en la renta anticipada cada importe hay que capitalizarlo "k" periodos adicionales.
Veamos un ejemplo con una renta unitaria pospagable:

Periodo 
Importe capitalizado
Importe capitalizado
x
(Renta normal)
(Renta anticipada)
x
1
1 * ( 1 + i )^n-1
1 * ( 1 + i )^n-1+k
2
1 * ( 1 + i )^n-2
1 * ( 1 + i )^n-2+k
3
1 * ( 1 + i )^n-3
1 * ( 1 + i )^n-3+k
 .....
.....
.....
 .....
.....
.....
n-2
1 * ( 1 + i )^2
1 * ( 1 + i )^2+k
n-1
1 * ( 1 + i )^1
1 * ( 1 + i )^1+k
n
1
1 * ( 1 + i )^k



Luego, el valor final sería el siguiente:

x
Renta normal
Renta anticipada
x
Valor final
Sf = ((1 + i)^- 1) / i 
k/Sf = (1 + i)^k*(((1 + i)^- 1) / i) 
Este mismo razonamiento se aplica también en el caso de la renta prepagable:

x
Renta normal
Renta anticipada
x
Valor final
f = (1 + i) * (((1 + i)^- 1) / i) 
k/f = (1 + i)^1+k * (((1 + i)^- 1)/i) 



Hemos comentado en la lección anterior, que la modalidad de renta anticipada sólo se puede dar en las rentas temporales, pero no en las rentas perpetuas, ya que estas no finalizan, por lo que no se puede calcular un valor final.
Ejemplo: Calcular el valor final de una renta perpetua anual pospagable de 500.000 pesetas, de 6 años de duración, con un tipo de interés anual del 12%, y que se encuentra anticipada 4 años:
x
Aplicamos la fórmula del valor final Vn = C * k/Sf  
x
luego, Vn = C * (1 + i)^k*(((1 + i)^- 1) / i)  
luego, Vn = 500.000 * (1+0,12)^4 * (((1,12)^6 -1)/0,12)  
luego, Vn = 500.000 * 1,5735 * 8,1152  
luego, Vn = 6.384.625 ptas.  
Ejemplo: Calcular el valor final de una renta trimestral prepagable de 150.000 ptas. durante 5 años, con un tipo de interés anual del 12%, y que se encuentra anticipada 2 años y medio:

Como los importes son trimestrales tendremos que utilizar la base trimestral 
x
Tipo de interés trimestral: 1 + i = (1 + i4)^4 
luego, 1 + 0,12 = (1 + i4)^4  
luego, i= 2,874%  
x
Aplicamos ahora la fórmula de valor final,  Vn = C * k/f 
x
luego,  Vn = C * (1 + i)^1+k * (((1 + i)^- 1)/i)
luego,  Vn = 150.000*(1,02874)^1+10 * (((1,02874)^20 -1 )/ 0,02874)
(los periodos van expresados en trimestres)
luego,  Vn = 150.000*1,3657*26,5286
luego,  Vn = 5.434.521 ptas.


La renta diferida es aquella cuyo valor inicial se calcula con anterioridad al comienzo de la renta.

Por ejemplo: calculo hoy el valor de un contrato de alquiler que se va a poner en vigor dentro de 6 meses.
La renta anticipada es aquella en la que se calcula su valor final en un momento posterior a la finalización de la renta.

Por ejemplo: calculo hoy el valor de una serie de depósitos mensuales que fui realizando en un banco y que finalicé hace unos meses.
En la modalidad de renta diferida, lo que varía respecto a los modelos que hemos venido analizando es el calculo del valor inicial, ya que el valor final  coincide con la terminación de la renta (al igual que en los modelos que hemos visto).
En la renta anticipada, la peculiaridad está en el cálculo del valor final, ya que el valor inicial coincide con el comienzo de la renta .
Estas modalidades de renta diferida o anticipada pueden darse en los distintos supuestos de renta constante que hemos estudiado:

Una renta diferida puede ser una renta temporal (prepagable o pospagable), o una renta perpetua (también prepagable o pospagable).
Por su parte, la renta anticipada sólo puede darse en rentas temporales, nunca en el supuesto de rentas perpetuas, ya que estas no terminan nunca.
Vamos a analizar ahora en que medida estas peculiaridades afectan al cálculo del valor actual de la renta.

A) RENTA DIFERIDA

Vamos a suponer que entre el momento de la valoración y el momento del inicio de la renta transcurren "d" periodos.
Luego la diferencia con los modelos que hemos analizado, en los que se descontaban los importes hasta el momento de inicio de la renta, está en que en el caso de la renta diferida hay que descontar cada importe "d" periodos adicionales.
Veamos un ejemplo con una renta unitaria pospagable:

Periodo 
Importe descontado 
Importe descontado 
x
(Renta normal)
(Renta diferida)
x
1
1 / ( 1 + i )
1 / ( 1 + i )^1+d
2
1 / ( 1 + i )^2
1 / ( 1 + i )^2+d
3
1 / ( 1 + i )^3
1 / ( 1 + i )^3+d
 .....
.....
.....
 .....
.....
.....
n-2
1 / ( 1 + i )^n-2
1 / ( 1 + i )^n-2+d
n-1
1 / ( 1 + i )^n-1
1 / ( 1 + i )^n-1+d
n
1 / ( 1 + i )^n
1 / ( 1 + i )^n+d



   Luego, el valor actual sería el siguiente:

x
Renta normal
Renta diferida
x
Valor actual
Ao = (1 - (1 + i)^-n)/ i 
Ao = (1+i)^-d * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) 
Este mismo razonamiento se aplica en todos los caso. En el siguiente cuadro se presentan las fórmulas del valor inicial de una renta diferida en los distintos supuestos:

Tipo de renta
Renta normal
Renta diferida
x
Temporal pospagable
Ao = (1 - (1 + i)^-n)/i 
d/Ao = (1+i)^-d * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) 
x
Temporal prepagable
Äo = (1 + i) * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) 
d/Äo = (1+i)^-d+1 * ((1 - (1 + i)^-n)/i)  
x
Perpetua pospagable
APo = 1 / i  
d/APo = (1+i)^-d / i 
x
Perpetua prepagable
ÄPo = (1 + i) / i  
d/ÄPo = (1+i)^-d+1 / i  
x
Ejemplo: Calcular el valor actual de una renta perpetua anual pospagable de 300.000 dólares , con un tipo de interés anual del 16%, y que se encuentra diferida  2 años:
x
Aplicamos la fórmula Vo = C * d/APo  
x
luego, Vo = 300.000 * (1+0,16)^-2 / 0,16  
luego, Vo = 1.393.430 dólares.  
Ejemplo: Calcular el valor actual de una renta semestral prepagable de 1.000.000  dólares. durante 7 años, con un tipo de interés anual del 8%, y que se encuentra diferida 3 años:

Como los importes son semestrales tendremos que utilizar la base semestral 
x
Tipo de interés semestral: 1 + i = (1 + i2)^2 
luego, 1 + 0,08 = (1 + i2)^2  
luego, i= 3,92%  
x
Aplicamos ahora la fórmula de valor actual,  Vo = C *d/Äo 
x
luego,  Vo = C * (1+i2)^-d+1 * ((1 - (1 + i2)^-n)/i2)
luego,  Vo = 1.000.000*(1,0392)^-6+1 * ((1 - (1,0392)^-14)/0,0392)
(los periodos van expresados en semestres)
luego,  Vo = 1.000.000*0,825*10,619
luego,  Vo = 8.760.783 dólares.