viernes, octubre 04, 2013

Rentabilidad de un empréstito

La rentabilidad efectiva de una obligación para el obligacionista (inversor) es el tipo de interés que iguala en el momento inicial el valor de la prestación (precio pagado por dicho título) y el valor de la contraprestación (intereses recibidos y amortización final).

En aquellas obligaciones que se amortizan por sorteo y que presentan distintos tipos de ventajas (primas de emisión, de amortización, etc.), la rentabilidad efectiva  va a depender del momento en que se amortice cada título.

Normalmente, la rentabilidad será superior en aquellos títulos que se amorticen antes, ya que el efecto positivo de las distintas primas de emisión y/o de amortización será más significativo.

En inversor no va a saber a priori cual será la rentabilidad efectiva de sus títulos, pero si puede conocer como evolucionará ésta en función de en qué momento sean amortizados.

Para calcular la rentabilidad de un título se aplica la ecuación de equivalencia financiera:

Pc = (Vn * i *Ao) + (Pa * (1 + ie)^-k)
Siendo Pc el precio de compra del título
Siendo (Vn * i *Ao) el valor actualizado de los intereses recibidos del empréstito
Siendo ie la tasa de rentabilidad efectiva
Siendo Pa el precio de amortización
Ejemplo:

Se emiten obligaciones de 10.000 ptas. cada título, con el 7% de interés y vencimiento en 5 años. Tiene un descuento en la suscripción del 5% (se compran los títulos por 9.500 ptas.) y una prima de amortización del 2% (se cobra en el vencimiento 10.200 ptas. por cada título). Los títulos se amortizan mediante sorteos anuales.

Calcular el rendimiento efectivo de esta obligación.

Solución:

Se aplica la fórmula de equivalencia financiera:

Pc = (Vn * i *Ao) + (Pa * (1 + ie)^-k)
Luego, 9.500 = (10.000 * 0,07 * Ao) + (10.200 * (1+ie)^-k)

Si la obligación se amortizara en el primer año, la ecuación de equivalencia financiera sería:

9.500 = (10.000 * 0,07 * ((1 - (1 + ie)^-1)/ie)) + (10.200 * (1 + ie)^-1)

Si la obligación se amortizara en el 2 año. esta ecuación quedaría de la forma:

9.500 = (10.000 * 0,07 * ((1 - (1 + ie)^-2)/ie)) + (10.200 (1 + ie)^-2)

Y así sucesivamente, hasta el año 5. Podemos completar el siguiente cuadro, indicando como evoluciona la rentabilidad efectiva según el momento de amortización de los títulos:

Periodo
Rentabilidad efectiva
año 1
14,737%
año 2
10,863%
año 3
9,603%
año 4
8,980%
año 5
8,609


La rentabilidad calculada es bruta (no considera el coste impositivo). Para tener en cuenta esto, sólo hay que sustituir los ingresos brutos por los ingresos netos (después de impuestos).



Obligaciones convertibles

Son aquellas obligaciones que permiten al inversor (obligacionista)  decidir en un momento futuro entre mantener dichas obligaciones o convertirlas en acciones de la sociedad.

En el momento de emitir estas obligaciones se fija el sistema que se utilizará para determinar la relación de conversión (es decir, número de acciones a recibir por cada obligación), así como en que momento(s) futuro(s) el obligacionista podrá optar por acudir a la conversión.

La relación de conversión se determina:

Valor de conversión de la obligación / valor de la acción

a) Valor de conversión de la obligación: suele ser su valor nominal.
b) Valor de la acción: se suele fijar el precio medio de la acción durante un número determinado de días antes de la fecha de conversión. A efectos de hacer la conversión más atractiva para el inversor, a este precio medio se le suele aplicar un descuento (10-20%).

Para ver si interesa o no acudir a la conversión hay que comparar los dos valores siguientes:

a) Valor de mercado de la obligación en la fecha de la conversión
b) Valor de transformación: es el valor de mercado en dicha fecha del número de acciones que se recibe por cada obligación.

Si el valor de mercado de la obligación es mayor, no interesa acudir a la conversión. Si es menor, si interesa acudir.

La diferencia entre el valor de mercado de la obligación y el valor de transformación se denomina "prima de conversión".

Ejemplo:

Se emiten obligaciones convertibles de 10.000 ptas de nominal cada título, a un plazo de 5 años. Se establece la posibilidad de convertirlas en acciones al final del 1º año. La relación de conversión será:

Obligación: por su valor nominal

Acción: cotización media del último trimestre, con descuento del 15%.

Llegado el 31 de diciembre, la cotización media de la acción en el último trimestre ha sido de 150 ptas. (su cotización al 31/12 es de 180 ptas.). Por su parte, el valor de mercado de la obligación asciende a 11.150 ptas.

Determinar:

a) Relación de conversión
b) Prima de conversión
c) ¿Interesa acudir a la conversión?
Solución:
a) Relación de conversión:

Valor de conversión de la obligación / valor de la acción
Luego, Relación de intercambio = 10.000 / (150 * 0,85)
Luego, Relación de intercambio = 78,43 acciones

Es decir, por cada obligación se recibirán 78,43 acciones.

b) Prima de conversión:

Valor de transformación (180 * 78,43) 
=
14.117,4 ptas.
Valor de mercado de la obligación
=
11.150,0 ptas.
Prima de conversión
=
2.967,4 ptas.


c) Como la prima de conversión es positiva, conviene acudir a la misma.

Empréstitos cupón cero

En algunos tipos de empréstitos se realiza un único pago de intereses en el momento de amortización de los títulos. Estas emisiones se denominan de "cupón cero".

Dentro de esta categoría se distinguen diversas variantes, destacando:

http://www.aulafacil.com/cursosenviados/analisisestadosfinancieros/Lecc-9_clip_image002.gif
a) Cuotas periódicas constantes
b) Amortización del mismo número de títulos en cada periodo

Cuotas periódicas constantes

El esquema es similar al de los empréstitos con pago de intereses periódicos y cuota constante. La diferencia está en que en aquel modelo, la cuota periódica incluía intereses sobre el saldo vivo, mientras que ahora (cupón cero) sólo incluye los intereses acumulados de los títulos que se amortizan en ese periodo.

A efectos de simplificar, consideraremos que el tipo de interés es constante durante toda la vida del empréstito.

La cuota periódica se calcula:

Co = M * Ao
Siendo Co el importe inicial del empréstito
Siendo M el importe de la cuota periódica
Siendo Ao el valor actual de una renta constante, pospagable

De aquí se despeja M. 

Para calcular el número de títulos que se amortiza en cada periodo, empezamos por conocer los del primer periodo:

M = (A1 * Vn) + (1 + i)
Siendo A1 el número de títulos amortizados en el primer periodo
Siendo Vn el valor nominal de cada título

Los títulos que se amortizan en periodos sucesivos se calculan con la siguiente fórmula:

As = A1 * (1 + i)^-(s-1)
Siendo As el número de títulos que se amortiza en el periodo s

La parte de la cuota periódica que corresponde a intereses de los títulos amortizados se calcula fácilmente:

I= Ms - (A1 * Vn)
Siendo Is los intereses que se pagan en ese periodo

Conociendo este dato, ya se puede completar el cuadro de amortización.
Veamos un ejemplo:

Se emiten obligaciones por 50.000 millones de ptas. (1.000.000 de títulos, con un valor nominal de 50.000 ptas. cada uno). La duración es de 5 años y tipo de interés constante del 6%. Las cuotas anuales son constantes y los interese se pagan en el momento de amortización de cada título.

Calcular el cuadro de amortizaciones:

La cuota periódica se calcula:

Co = M * Ao
Luego, Co = M * ((1 - (1 + i)^-n) / i)
Luego, 50.000 = M * 4,2123
Luego, M = 11.869,82 millones ptas.

A continuación se calcula el número de títulos que se amortiza en el primer periodo:

M = (A* Vn) * (1 + i)
Luego, 11.869,82 = (A1 * 0,05) + (1 + 0,06) (el valor nominal del título está expresado en millones de ptas.)
Luego, A1 = 223.959 títulos

Ya se puede calcular el resto del calendario de amortización:

A2
223.959 * (1 + 0,06)^-1
211.282 títulos
A3
223.959 * (1 + 0,06)^-2
199.323 títulos
A4
223.959 * (1 + 0,06)^-3
188.040 títulos
A5
223.959 * (1 + 0,06)^-4
177.396 títulos

Y se puede completar el cuadro de amortizaciones:

Nº de títulos
Cuota periódica
Saldo vivo del empréstito
Periodo
Vivos
Amortizados en periodo
Amortiz. acumulados
Amortiz. de capital
Intereses
Cuota periódica
(Millones ptas.)
(Millones ptas.)
(Millones ptas.)
(Millones ptas.)
año 0
1.000.000
0
0
0
0
0
50.000
año 1
776.041
223.959
223.959
11.197,9
671,9
11.869,8
38.802,1
año 2
564.759
211.282
435.241
10.564,1
1.305.7
11.869,8
28.238,0
año 3
365.436
199.323
634.564
9.966,1
1.903,6
11.869,8
18.271,9
año 4
177.396
188.040
822.604
9.402,0
2.467,8
11.869,8
8.869,8
año 5
0
177.396
1.000.000
8.869,8
3.000,0
11.869,8
0
                                                              
Amortización del mismo número de títulos en cada periodo

En este tipo de empréstitos en cada periodo se amortiza el mismo número de títulos:

A = n / p
Siendo A el número de títulos que se amortiza en cada periodo
Siendo n el número total de títulos emitidos
Siendo p el número de periodos

Conociendo este dato, se conoce el calendario de amortización y la evolución del saldo vivo del empréstito.

Y el importe de la cuota periódica se calcula:

Ms = (A * Vn) * (1 + i)^s

Si a la cuota del periodo se le resta la parte de amortización de capital (A * Vn) hallamos los intereses pagados en ese periodo.

Veamos un ejemplo:

Se emiten obligaciones por 50.000 millones de ptas. (1.000.000 de títulos, con un valor nominal de 50.000 ptas. cada uno). La duración es de 5 años y el tipo de interés es el 6%. Se amortiza el mismo número de títulos en cada periodo y los intereses se pagan en el momento de amortización de cada título.

Calcular el cuadro de amortizaciones.

El número de títulos que se amortiza en cada periodo:

A = n / p
luego, A = 1.000.000 / 5
luego, A = 200.000 títulos en cada periodo

Veamos el cuadro de amortizaciones:


Nº de títulos
Cuota periódica
Saldo vivo del empréstito
Periodo
Vivos
Amortizados en periodo
Amortiz. acumulados
Amortiz. de capital
Intereses
Cuota periódica
(Millones ptas.)
(Millones ptas.)
(Millones ptas.)
(Millones ptas.)
año 0
1.000.000
0
0
0
0
0
50.000
año 1
800.000
200.000
200.000
10.000
600
10.600
40.000
año 2
600.000
200.000
400.000
10.000
1.236
11.236
30.000
año 3
400.000
200.000
600.000
10.000
1.910
11.910
20.000
año 4
200.000
200.000
800.000
10.000
2.625
12.625
10.000
año 5
0
200.000
1.000.000
10.000
3.382
13.382
0

Empréstitos amortización por sorteo

En este tipo de empréstitos, muy utilizados, se realizan periódicamente amortizaciones de un número determinado de títulos, que son elegidos por sorteo.

Las cuotas periódicas incluyen, por tanto, dos conceptos:

- El pago de los intereses del periodo
- La amortización de aquellos títulos seleccionados

a) Pago periódico de intereses y cuotas periódicas constantes

Dentro de este tipo de empréstitos, destaca un modelo particular que se caracteriza porque las cuotas periódicas son constantes durante toda la vida del empréstito (por simplificar, vamos a considerar que el tipo de interés también es constante durante toda la operación).

Para calcular el importe de la cuota periódica se aplica la ley de equivalencia financiera:

Co = Ms * Ao
Siendo Co el importe inicial del empréstito
Siendo Ms el importe de la cuota periódica
Siendo Ao el valor actual de una renta constante, pospagable

De aquí podemos despejar el valor de Ms. Para calcular que parte de esta cuota periódica corresponde a amortización de capital se calcula la correspondiente al primer periodo:

M1 = (Co * i * t)  + (A1 * Vn)
El primer paréntesis (Co * i * t) corresponde a los intereses del periodo, mientras que el segundo paréntesis (A1 * Vn) corresponde a la amortización de capital (siendo A1 el número de títulos que se amortiza y Vn el valor nominal de cada título)

El importe de los intereses se puede calcular directamente, y a continuación se puede deducir el importe de la amortización de capital (y con ella, el número de títulos amortizados).

A partir del número de títulos que se amortiza en el primer periodo, se puede calcular el calendario de amortizaciones:

As = Ai * (1 + i)^s-1
Siendo As el número de títulos que se amortiza en el periodo s

La parte de cada cuota periódica que corresponde a intereses se calcula aplicando la fórmula:

Ms = AMs  + Is
Por lo que, Is = Ms - AMs

Ejemplo: Se realiza una emisión de obligaciones de 20.000 millones ptas., distribuida en  1.000.000 de títulos de 20.000 ptas. de nominal cada uno, a un plazo de 5 años y tipo de interés del 8%. Las cuotas son anuales y constantes.

Calcular el cuadro de amortizaciones:

Solución:

Se comienza por calcular el importe constante de la cuota periódica

Co = Ms * Ao
luego, Co = Ms * ((1 - (1 + i)^-n) / i)
luego, 20.000 = Ms * ((1 - (1 + 0,08)^-5) / 0,08)
luego, Ms = 5.009,13 millones ptas.

A continuación se calcula el número de títulos que se amortiza en el primer periodo:

Ms = (Co * i * t) + (A* Vn)
luego, 5.009,13 = (20.000*0,08*1) * (A1 * 0,02) (el valor nominal del título está expresado en millones de ptas.)
luego, A1 = 170.456 títulos

Ya podemos hallar el número de títulos que se amortiza en cada uno de los periodos:

A2
170.456 * (1 + 0,08)
184.092 títulos
A3
170.456 * (1 + 0,08)^2
198.820 títulos
A4
170.456 * (1 + 0,08)^3
214.725 títulos
A5
170.456 * (1 + 0,08)^4
231.904 títulos

Conociendo el número de títulos amortizados, simplemente se multiplican por su valor nominal para ver el importe del empréstito amortizado en cada periodo.

Los intereses se calculan por diferencia: Is = Ms - AMs

Ya se puede completar el cuadro de amortizaciones:

Nº de títulos
Cuota periódica
Saldo vivo del empréstito
Periodo
Vivos
Amortizados en periodo
Amortiz. acumulados
Amortiz. de capital
Intereses
Cuota periódica
(Millones ptas.)
(Millones ptas.)
(Millones ptas.)
(Millones ptas.)
año 0
1.000.000
0
0
0
0
0
20.000
año 1
829.544
170.456
170.456
3.409,12
1.600,00
5.009,13
16.590,88
año 2
645.452
184.092
354.548
3.681,84
1.327,29
5.009,13
12.909,04
año 3
446.632
198.820
553.368
3.796,40
1.032,73
5.009,13
8.932,64
año 4
231.904
214.725
768.093
4.294.50
714,63
5.009,13
4.638,08
año 5
0
231.904
1.000.000
4.638,08
371,05
5.009,13
0


b) Pago periódico de intereses y amortización de capital constante

Esta es otra modalidad de empréstitos muy utilizada.

El número de títulos que se amortiza en cada periodo viene determinado por la fórmula:

A = n / p
Siendo A el número de títulos que se amortiza en cada periodo
Siendo n el número total de títulos emitidos
Siendo p el número de periodos

Conociendo el número de títulos que se amortiza en cada periodo, es inmediato ver como evoluciona el número de títulos en circulación y con ello el saldo vivo del empréstito.

El importe de los intereses de cada periodo viene determinado por:

Is = Ss-i * i * t
Siendo Ss-1 el saldo vivo del empréstito al final del periodo anterior

Y el importe de la cuota periódica:

Ms = (A * Vn) + Is
Siendo Vn el importe nominal de cada título

Veamos un ejemplo:

Se emiten obligaciones por 30.000 millones de pesetas, a 5 años y con un tipo de interés del 7%. La emisión se compone de 1.000.000 de títulos, con un valor nominal de 30.000 ptas. cada uno. Se amortiza el mismo número de títulos en cada periodo.

Calcular el cuadro de amortizaciones:


Nº de títulos
Cuota periódica
Saldo vivo del empréstito
Periodo
Vivos
Amortizados en periodo
Amortiz. acumulados
Amortiz. de capital
Intereses
Cuota periódica
(Millones ptas.)
(Millones ptas.)
(Millones ptas.)
(Millones ptas.)
año 0
1.000.000
0
0
0
0
0
30.000
año 1
800.000
200.000
200.000
6.000
2.100
8.100
24.000
año 2
600.000
200.000
400.000
6.000
1.680
7.680
18.000
año 3
400.000
200.000
600.000
6.000
1.260
7.260
12.000
año 4
200.000
200.000
800.000
6.000
840
6.840
6.000
año 5
0
200.000
1.000.000
6.000
420
6.420
0