sábado, agosto 24, 2013

Descuento Bancario de Efectos Comerciales

En este tipo de operaciones la entidad financiera anticipa al cliente el importe de una letra de cambio que éste trae al descuento, liquidando por anticipado los intereses de la operación.

Suelen ser operaciones a corto plazo, por lo que se aplica la ley de descuento comercial (en el supuesto de que fuera una operación a largo plazo se aplicaría la ley de descuento compuesto).

Para calcular el importe efectivo que la entidad financiera entrega al cliente se aplica la siguiente ley:

E = Co * ( 1 - d * t ) - ( Co * g )
x
E es el importe efectivo que recibe el cliente
Co es el importe nominal del efecto
d es el tipo de descuento aplicado
t es el plazo de la operación
g es el % de comisiones que se cobra
x
Por lo tanto, el paréntesis Co * (1 - d * t ) calcula el importe final, descontado los intereses.
El paréntesis ( Co * g ) calcula las comisiones que cobra la entidad financiera y que se suelen establecer como un porcentaje del importe nominal del efecto.

Veamos un ejemplo:             
            
Un cliente descuenta en una entidad financiera un efecto de 600.000 ptas. a 90 días, y se le aplica un tipo de interés del 12% anual. Se le cobran también comisiones equivalentes al 0,5% del valor nominal del efecto.


a) Calcular el importe efectivo que recibe el cliente:
x
Se aplica la fórmula E = Co * ( 1 - d * t ) - ( Co * g )
Luego, E = 600.000 * ( 1 - 0,12 * 0,246 ) - ( 600.000 * 0,005 )
(Como se utiliza el tipo de interés anual, el plazo se pone en base anual: 90 días = 0,246 años)
Luego, E = 579.247 ptas.
x
Por lo tanto, el cliente recibe 579.247 ptas.
x
b) Calcular el tipo  efectivo de la operación
x
Recordemos que el tipo efectivo es aquel que iguala en el momento inicial el valor de la prestación y de la contraprestación.
x
Luego, 579.247 = 600.000 * ( 1 - i* t ) (siendo iel tipo efectivo)
x
¿Qué estamos haciendo?: estamos llevando al momento inicial la prestación (lo que cobra el cliente, que como lo recibe en el momento 0 no hay que descontarlo) y la contraprestación (lo que paga el cliente: como la letra de cambio vence a los 90 días hay que descontarla).
x
ATENCION: tal como indicábamos, como es una operación a corto plazo para calcular el tipo efectivo se aplica la ley de descuento comercial. Si fuera a largo plazo se aplicaría la ley de descuento compuesto.
x
Luego, i= 14,03%
x
Se observa como la tasa de descuento efectivo (14,03%)es superior a la tasa nominal (12,0%), lo que se explica por el fuerte impacto que tienen las comisiones.
x
c) Calcular el TAE de la operación
x
El TAE siempre se calcula aplicando la ley de capitalización o descuento compuesto (son leyes equivalentes), con independencia de que la operación sea a plazo largo o corto.
x
Por lo tanto, se aplica la fórmula 579.247 = 600.000 * ( 1 + ie )^t
luego, 579.247 = 600.000 * ( 1 + ie )^0,246
luego, ie = 15,345%
x
El TAE de la operación es 15,345%, superior al tipo nominal y al tipo efectivo. 

Tasa Anual Equivalente

En toda operación financiera se produce un intercambio de prestaciones dinerarias: una parte anticipa un capital y recibe a cambio pagos futuros. A lo largo de la vida de la operación, en diversos momentos pueden darse movimientos de capital en una u otra dirección.
El tipo de interés efectivo de una operación es aquel que iguala el valor actual de las prestaciones y de las contraprestaciones.

Si se actualiza al momento inicial, por una parte los pagos y por otra parte los cobros, el tipo de interés efectivo es aquel que iguala estos dos valores iniciales.

El Banco de España establece que en toda operación financiera, la entidad de crédito tiene que comunicar el tipo TAE (Tasa Anual Equivalente).

El TAE es el tipo de interés efectivo, expresado en tasa anual,  pospagable.
Es decir, para calcular el TAE:

a) Se calcula el tipo de interés efectivo de la operación
b) Conocido este tipo efectivo, se calcula el tipo anual, pospagable (TAE) equivalente

El tipo TAE, al venir siempre expresado como tasa anual, pospagable, permite comparar el coste real o rendimiento real de diversas operaciones, en aquellos casos en que sus tipos de interés nominales no son directamente comparable:

Por ejemplo: si el tipo de interés de un crédito viene expresado en tasa trimestral, y el de otro crédito en tasa semestral, estos tipos no son directamente comparables. Pero si calculamos sus TAEs, ya sí se pueden comparar.

Cuando la entidad financiera calcula el TAE de una operación, en la parte de ingresos incluye no sólo los derivados del tipo de interés, sino también los ingresos por comisiones y cualquier otro tipo de ingreso derivado de la operación.

EJEMPLO: Se solicita un crédito de 1.000.000 ptas. que hay que devolver en 2 pagos semestrales de 550.000 ptas. Calcular el TAE:

Los flujos de capital son los siguientes: 
x
Meses
Flujo
0
+1.000.0000
6
-500.000
12
-500.000
x
6



Sé analiza la operación desde el punto de vista del cliente.  Los importes que recibe van con signos positivo, y los que paga van con signos negativo. Se podría haber realizado desde el punto de vista del banco, cambiando los signos
x
1.- Se calcula el tipo de interés efectivo
x
Luego, 1.000.000 = 550.000 * (i + i2)^-1 + 550.000* (i + i2)^-2
Luego, i2 = 6,596 % (i2  es el tipo de interés efectivo semestral)
x
2.- Calculado el tipo de interés efectivo, se calcula  su equivalente TAE:
x
Se aplica la fórmula, (1 + i) = (1 + i2)^2 (donde i es el tipo TAE)
Luego, (1 + i) = (1 + 0,06596)^2 
Luego, i = 13,628% 
x
Por lo tanto, la tasa TAE de esta operación es el 13,628%

Ejercicios

  • Ejercicio 1: Se deposita en un banco 550.000 ptas. el 1 de enero, y otras 550.000 ptas. el 1 de julio. A final de año se recibe del banco 1.200.000 ptas. Calcular el TAE de la operación. 
  • Ejercicio 2: Una entidad financiera concede un crédito de 1.000.000 ptas., a un plazo de 1 año. El tipo de interés del crédito es del 10% anual, realizándose el pago de los intereses a principio de cada trimestre. La entidad cobra una comisión de estudio de 25.000 ptas. Calcular el TAE de la operación.
SOLUCIONES

Ejercicio 1:

a) Los flujos de capital son los siguientes: 
x
Meses
Flujo
0
-550.000
6
-550.000
12
+1.200.000
x
6
Se analiza la operación desde el punto de vista del cliente.  Los importes que recibe van con signo positivo y los que paga con signo negativo. 
x
b) Se calcula el tipo de interés que iguala el valor en el momento inicial de la prestación y de la contraprestación:
x
Luego, 550.000 + 550.000 * (i + i2)^-1 = 1.200.000 * (1 + i2) ^-2
Despejando, i2 = 5,9429 % (i2  es el tipo de interés efectivo semestral)
x
c) Conocido el tipo de interés efectivo, se calcula  su equivalente TAE:
x
Se aplica la fórmula, (1 + i) = (1 + i2)^2 (donde i es el tipo TAE)
Luego, (1 + i) = (1 + 0,059429)^2 
Luego, i = 12,239% 
x
Por lo tanto, la tasa TAE de esta operación es el 12,239%
x

Ejercicio 2:


a) Calculamos el importe de las liquidaciones trimestrales 
x
Se calcula el tipo de interés trimestral equivalente al 10% anual:
x
luego, (1 + i) = (1 + i4)^4 
luego, (1 + 0,1) = (1 + i4)^4 
luego, i4 = 2,4114% 
x
Por lo tanto la liquidación trimestral será: I = 1.000.000 * 0,024114 
luego, I = 24.114 ptas.
x
b) Ya podemos detallar el flujo de la operación: 
x
Meses
Principal
Intereses
Comisiones
0
+1.000.000
-24.114
-25.000
3
-24.114
6
-24.114
9
-24.114
12
-1.000.000
x
6
Se analiza la operación desde el punto de vista del cliente.  Los importes que recibe van con signo positivo y los que paga con signo negativo. 
x
c) Se calcula el tipo de interés que iguala el valor en el momento inicial de la prestación y de la contraprestación:
x
Luego, 1.000.000 = 24.114 + 25.000 + 24.114 * (1 + i4) ^-1 + 24.114 * (1 + i4)^-2+ 24.114 * (1 + i4) ^-3 + 1.000.000 * (1 + i4) ^-4
(la base temporal es el trimestre)
Despejando, i4 = 3,1625 (i4  es el tipo de interés efectivo trimestral)
x
d) Conocido el tipo de interés efectivo, se calcula  su equivalente TAE:
x
Se aplica la fórmula, (1 + i) = (1 + i4)^4 (donde i es el tipo TAE)
Luego, (1 + i) = (1 + 0,031625)^4 
Luego, i = 13,26% 
x
Por lo tanto, la tasa TAE de esta operación es el 13,26%

jueves, agosto 22, 2013

Ejercicios de Rentas con distintos tipos de interes

  • Ejercicio 1: Calcular el valor final de una renta prepagable trimestral, que se encuentra anticipada un año y medio, aplicando un tipo de interés del 10%. Los términos son:
Periodo 
Término (ptas.)
x
1º trim.
500.000
2º trim.
600.000
3º trim.
700.000
 4º trim.
800.000
 5º trim.
900.000
6º trim.
1.000.000

  • Ejercicio 2: Calcular el valor inicial de una renta anual pospagable, diferida 6 meses, aplicando un tipo de interés del 8%. Los términos son:
Periodo 
Término (ptas.)
x
1º año
600.000
2º año
400.000
3º año
200.000
 4º año
400.000
 5º año
600.000

  • Ejercicio 3: A una renta semestral de 300.000 ptas., pospagable, y de 3 años de duración, se le aplican dos tipos de interés: el 3% para los tres primeros semestres y el 12% para los tres siguientes. La renta se encuentra diferida 1 años. Calcular:
El valor inicial
El tipo medio equivalente

  • Ejercicio 4: Una renta semestral de 6 términos de 200.000 ptas., prepagable, se le aplica el 8% en el 1er año, el 9% en el 2º año y el 10% en el 3er año. Esta renta se encuentra anticipada 2 años. Calcular el valor final.
SOLUCIONES

Ejercicio 1:
1º) se calcula el tipo de interés trimestral equivalente:  
x
1 + i = (1 + i4)^4  (siendo i4 el tipo trimestral equivalente)
1 + 0,10 = (1 + i4)^4 
luego, i4 = 2,411%  
xx
2º) Se capitaliza cada término al momento final:  
x

Periodo 
Término (ptas.)
Factor de Capitalización
Término capitalizado
x
1º sem.
500.000
(1 + 0,02411)^6
576.832
2º sem.
600.000
(1 + 0,02411)^5
675.903
3º sem.
700.000
(1 + 0,02411)^4
769.989
 4º sem.
800.000
(1 + 0,02411)^3
859.270
 5º sem.
900.000
(1 + 0,02411)^2
943.921
6º sem.
1.000.000
(1 + 0,02411)
1.024.110
x

Suma de los términos descontados
4.850.025

xx

3º) El importe obtenido se capitaliza por el periodo anticipado:  
xx

Luego, Vn = 4.850.025  * (1 + 0,1)^1,5  (tipo de interés anual; la base temporal es el año)
Luego, Vn = 5.595.424 ptas.  
xx
Por lo tanto, el valor final de esta renta es de 5.595.424 ptas.  

Ejercicio 2:
1º) Se descuenta cada término al momento inicial:  
x

Periodo 
Término (ptas.)
Factor de Descuento
Término capitalizado
x
1º año
600.000
(1 + 0,0)^-1
555.540
2º año
400.000
(1 + 0,0)^-2
342.920
3º año
200.000
(1 + 0,0)^-3
158.760
 4º año
400.000
(1 + 0,0)^-4
294.000
 5º año
600.000
(1 + 0,0)^-5
408.350
x
Suma de los términos descontados
1.759.570

xx
2º) El importe obtenido se descuenta por el periodo diferido:  
xx
Luego, Vo = 1.759.570 * (1 + 0,08)^-0,5
Luego, Vo = 1.693.147 ptas.  
xx
Por lo tanto, el valor inicial de esta renta es de 1.693.147 ptas.  
x
Ejercicio 3:
1º) Cálculo del valor inicial:  
x
Se calculan los valores iniciales de cada tramo como si se tratarán de dos rentas independientes, y se suman los valores obtenidos.  
x
a.1.- Calculo del valor inicial del primer tramo:  
x
Primero se calcula el tipo semestral equivalente
x
1 + i = (1 + i2)^2  (siendo i2 el tipo semestral equivalente)
1 + 0,10 = (1 + i2)^2 
luego, i2 = 4,881%  
x
Luego se  aplica la fórmula Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) xx
Luego, Vo = 300.000 * ((1 - (1 + 0,04881)^-3/ 0,04881) xx
Luego, Vo = 818.800 ptas. xx
x
a.2.- Calculo del valor inicial del segundo tramo:  
x
Se calcula el tipo semestral equivalente, i2 = 5,830% 
x
Luego se  aplica la fórmula Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) xx
Luego, Vo = 300.000 * ((1 - (1 + 0,0583)^-3/ 0,0583) xx
Luego, Vo = 804.432 ptas. (valor inicial al comienzo del 2º tramo)xx
x
Este valor se descuenta tres semestres hasta el momento inicial de la renta xx
x
Luego, Vo = 804.432 * (1 + 0,04881)^-3 (se aplica el tipo del primer periodo)
Luego, Vo = 697.267 ptas. xx
x
a.3.- Calculado el valor inicial de los dos tramos se suman:  
x
Luego, Vo = 818.800 + 697.267 xx
Luego, Vo = 1.516.067 ptas. xx
x
Por lo tanto, el valor inicial de la renta es de 1.516.067 ptas.
x
2º) Cálculo del tipo medio equivalente:  
x
Se aplica la fórmula Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) (donde im es el tipo medio)
luego, 1.516.067 = 300.000 * ((1 - (1 + im)^-6/ im
x
luego im = 5,12% (calculado por tanteo)
x
Ejercicio 4:


Se calculan de manera independiente los valores finales de cada tramo.  
x
a.1.- Calculo del valor final del primer tramo:  
x
Primero se calcula el tipo semestral equivalente, i2 = 3,923%  
x
Luego se  aplica la fórmula Vn = C * (1 + i) * ((1 + i)^- 1)/ i) 
Luego, Vn = 200.000 * (1 + 0,03923) * ((1 + 0,03923)^- 1)/ 0,03923) 
Luego, Vn = 423.846 ptas. (valor en el momento final del tramo primero) 
x
Este valor obtenido, se capitaliza hasta el momento final de la renta 
x
Luego, Vn = 423.846 ptas. * (1 + 0,09) * (1 + 0,10) 
Luego, Vn = 508.191 ptas. 
x
a.2.- Calculo del valor final del segundo tramo:  
x
Se calcula el tipo semestral equivalente, i2 = 4,403%
x
Se  aplica la fórmula Vn = C * (1 + i) * ((1 + i)^- 1)/ i) 
Luego, Vn = 426.806 ptas. (valor en el momento final del tramo segundo) 
x
Este valor se capitaliza hasta el momento final de la renta 
x
Luego, Vn = 426.806 ptas. * (1 + 0,10) 
Luego, Vn = 469.486 ptas. 
x
a.3.- Calculo del valor final del tercer tramo:  
x
Se calcula el tipo semestral equivalente i2 = 4,881% 
x
Luego se  aplica la fórmula Vf = C * (1 + i) * ((1 + i)^- 1)/ i) 
Luego, Vn = 429.762 ptas.
x
a.4.- Los valores finales de los tres tramos se suman y se obtiene el valor final de la renta:  
x
Luego, Vn = 508.191 + 469.486 + 429.762 
Luego, Vn = 1.407.439 ptas. 
x
a.5.- El valor obtenido se capitaliza dos años (periodo anticipado)  
x
Luego, Vn = 1.407.439 * (1 + 0,10)^2 
Luego, Vn = 1.703.001 ptas. 
Por lo tanto, el valor final de esta renta, tras el periodo anticipado, es de1.703.001 ptas