domingo, agosto 25, 2013

Los Préstamos con Cuotas de Amortización Constante (Método francés)

Este tipo de préstamo se caracteriza por tener cuotas de amortización constante a lo largo de la vida del préstamo. También se considera que el tipo de interés es único durante toda la operación.

El flujo de capitales del préstamo será:

ns MS"
Periodo
Prestamo
Cuotas de amortización
año 0  
+ Co  
  
año 1  
- M 
año 2  
- M 
...
 ... 
año (n-2)  
- M 
año (n-1)  
- M 
año (n)  
- M 
Siendo Co el importe del préstamo y M el importe constante de la cuota de amortización 

El valor actual de las cuotas de amortización sigue una estructura similar a la de una renta constante, temporal, pospagable.

luego, Co = M * Ao (siendo Ao el valor actual de una renta unitaria pospagable, de duración igual a la del préstamo)
luego, Co = M * (1 - (1 + i)^-n)/ i  

Por lo que se puede calcular fácilmente el importe de la cuota constante de la amortización:

M = Co / A 

Ejemplo: Calcular la cuota constante de amortización de un préstamo de 3.000.000 ptas. a plazo de 5 años, con un tipo de interés del 10%.

Calculamos el valor de Ao (valor actualiza de una renta constante, pospagable, de 5 años de duración):  
Ao = (1 - (1 + i)^-n)/ i  
luego, Ao = (1 - (1 + 0,1)^-5)/ 0,1  
luego, Ao = 3,7908  
Una vez conocido el valor de Ao, se calcula el valor de la cuota constante  
luego, M = 3.000.000 / 3,7908  
luego, M = 791.392 ptas.  
Por lo tanto, la cuota constante anual se eleva a 791.392 ptas.  
Una vez que se conoce el importe de la cuota constante, podemos ver que parte de misma corresponde a amortización de principal y que parte corresponde a intereses:
a ) Amortización de Principal: Calculamos la correspondiente al primer periodo 
Sabemos que  I1 = Co * i * t  
luego, I= 3.000.000 * 0,1 * 1  
luego, I1 = 300.000 ptas.  
Ya podemos despejar As de la fórmula Ms = AMs - I 
luego, AMs = Ms- I 
luego, AM= 791.392 - 300.000  
luego, AM1 = 491.392 ptas.  

El resto de las amortizaciones de capital se pueden calcular aplicando la siguiente fórmula:

AMk = AM* (1 + i)^k-1 

 Por lo tanto:
  
Amort. de capital
AM1
491.392  
491.392
AM2
491.392  * (1,1)
540.531 
AM3
491.392  * (1,1)^2
594.584
AM4
491.392  * (1,1)^3
654.043
AM5
491.392  * (1,1)^4
719.447 
Suma  
3.000.000 

Se comprueba como la suma de todas las amortizaciones de capital coincide con el importe inicial del préstamo.

El importe que representan los intereses dentro de cada cuota de amortización se calcula de manera inmediata, ya que:

Partiendo de la fórmula Ms = AMs + I
se despeja Is = M- AM

Por lo tanto:

Periodo
Ms  
AMs
Is
1
791.392  
491.392
300.000
2
791.392  
540.531 
250.861 
3
791.392  
594.584
196.808
4
791.392  
654.043
137.349
5
791.392  
719.447 
71.945 

Conociendo el importe de las amortizaciones de principal, se calcula fácilmente el saldo vivo del préstamo en cada periodo, así como el capital ya amortizado:

Ss= Co - S AMk 
Siendo Ss el saldo vivo en el momento "s" y S AMla suma de todas las amortizaciones de capital realizadas hasta ese momento
CA= S AMk 
Siendo CAs el capital amortizado hasta el momento "s"

Luego:


Periodo
Saldo vivo  
Capital amortizado
0
3.000.000
0
1
2.508.608
491.392 
2
1.968.077
1.031.923
3
1.373.493
1.626.507
4
719.450
2.280.550 
5
0
3.000.000 


El Préstamo

El préstamo es una operación financiera en la que el Banco entrega al cliente un importe y este se compromete a devolverlo en uno o varios pagos. Los préstamos suelen ser operaciones a largo plazo.

En el préstamo se puede distinguir:

C0: Importe inicial de la operación.

Ms: Cuota de amortización. Es la cantidad que periódicamente se irá pagando. Este importe puede ser constante o puede ir variando. El subíndice "s" indica el periodo de la vida del préstamo al que corresponde dicha cuota.

Ss: Es el saldo pendiente de capital, es decir, la parte del importe inicial que aún no se ha amortizado hasta el momento "s".

CA s: Capital amortizado. Es la parte del importe inicial que se ha amortizado hasta el momento "s".

Entre estos conceptos se pueden establecer una serie de relaciones:

Cuota periódica
Ms= AMs + Is
La cuota que se paga periódicamenteestá formada por dos componentes:AMs es la devolución de principal que se realiza en ese periodo; Is son los intereses que se pagan correspondientes  a ese periodo.
Intereses del periodo
Is = Cs-1 * i * t
Los intereses del periodo "s" son iguales al saldo de la operación al comienzo del periodo, por el tipo de interés y por la duración del periodo.
Capital inicial 
Co = S AMk
El capital inicial es igual a la suma de todas las amortizaciones parciales de capital que se van a realizar a lo largo de la vida de la operación.
Saldo vivo de la operación en el momento "s"
Ss= S Mk (1+i)^k-s
El saldo vivo de la operación en el momento "s" es igual a la suma de todas las cuotas periódicas pendientes de vencer, descontadas a esa fecha.
Ss= Co - S AMk
También se puede calcular restando al importe inicial de la operación las amortizaciones de capital que ya se hayan realizado.
Capital amortizado
CA= S AMk
El capital amortizado en el momento "s" es la suma de todas las amortizaciones de capital realizadas hasta dicho momento.
CA= Co- Ss 
También se puede calcular como la diferencia entre el capital inicial y el saldo pendiente de amortizar al momento "s".

En las operaciones de préstamos se pueden distinguir algunos casos particulares que estudiaremos en las próximas lecciones:

a) Préstamo con cuota de amortización constante
b) Préstamo con devolución de principal constante 
c) Préstamo con una sola devolución de principal al vencimiento
d) Préstamo con periodo de carencia
e) Préstamo con diferentes tipos de interés a lo largo de la vida de la operación 

f) Préstamo con intereses anticipados.



La Compra y Venta de Acciones

Cuando se compran acciones el importe efectivo que se paga por ellas viene determinado por la fórmula:
I= (N* Pc) + Cc 
x
Siendo " Ic" el importe efectivo de la compra
" Nc" el número de acciones adquiridas
" Pc" el precio pagado por acción
" Cc" las comisiones pagadas en la compra

Ejemplo: se adquieren 1.000 acciones de Telefónica que cotizan en ese momento a 3.000 ptas. Se pagan unas comisiones de 15.000 ptas. Calcular el importe de la adquisición.

I= (N* Pc) + Cc  
Luego, I= (1.000 * 3.000) + 15.000 
Luego, I= 3.017.000 ptas. 

Durante el tiempo en que se mantienen las acciones se irán recibiendo dividendos, pero también habrá que pagar comisiones de custodia.
Cuando se venden las acciones el importe recibido viene determinado por la siguiente fórmula:
Iv = (Nv * Pv) - C
x
Siendo " Iv" el importe efectivo de la venta
" Nv" el número de acciones que se venden
" Pv" el precio de venta por acción
"Cc" las comisiones pagadas en la venta

Ejemplo: las acciones que compramos en el ejemplo anterior se venden 9 meses después a 3.150 ptas. cada acción. Las comisiones de venta ascienden a 12.000 ptas. Calcular el importe ingresado por la venta.

Iv = (Nv * Pv) - C 
Luego, Iv = (1.000 * 3.150) - 12.000 
Luego, Iv = 3.138.000 ptas. 

Para calcular la rentabilidad que se obtiene en este tipo de inversiones hay que distinguir:
a) Operaciones a corto plazo (< 12 meses) se aplica la ley de capitalización simple.
b) Operaciones a largo plazo (> 12 meses) se aplica la ley de capitalización compuesta.

OPERACIONES A CORTO PLAZO

En este tipo de operaciones, para calcular la rentabilidad que se obtiene, se aplica la siguiente fórmula:

r = (D - Cm + Iv - Ic) * (1 - t) / I
x
Siendo " r " la rentabilidad obtenida en la operación
" D " los dividendos percibidos
" Cm" las comisiones de custodia pagadas
" Iv " el importe de la venta
" Ic" el importe de la compra
" t " el tipo impositivo marginal que paga el inversor

Analicemos la fórmula anterior:

El paréntesis (D - Cm + Iv - Ic) determina el ingreso bruto que percibe el inversor. 
x
No obstante, el inversor tiene que pagar impuestos por los beneficios obtenidos, por lo que su beneficio neto viene determinado por el beneficio bruto multiplicado por (1 - t).

Ejemplo: en el ejemplo anterior, el inversor recibe durante los 9 meses que ha mantenido las acciones, dividendos por 100.000 ptas. y ha pagado comisiones de custodia por 20.000 ptas. Su tipo impositivo marginal es el 30%. Calcular la rentabilidad obtenida:

r = (D - Cm + Iv - Ic) * (1 " - t) / I 
luego, r = (100.000 - 20.000 + 3.138.000 - 3.017.000) (1 - 0,3) / 3.017.000 
luego, r = 4,66% 
x
Esta rentabilidad la ha obtenido el inversor en un plazo de 9 meses. Su equivalente anual sería r = 4,66 * 12 / 9 = 6,21%

OPERACIONES A LARGO PLAZO

Para calcular la rentabilidad de este tipo de operaciones se aplica la ley de equivalencia financiera:

La rentabilidad de la operación es el tipo de interés que iguala en el momento inicial la prestación (importe de la adquisición) y la contraprestación (importe de la venta y dividendos percibidos durante ese periodo de tenencia, menos las comisiones de custodia pagadas).
Supongamos que una inversión en acciones origina los siguientes flujos monetarios durante el periodo de tenencia:
Periodo  
Tipo de flujo  
Comisión de custodia
x
año 0  
Compra de las acciones
- Ic  
año 1  
Se cobran dividendos y se paga comisión de custodia
+ D1 - Cm1  
año 2  
Se cobran dividendos y se paga comisión de custodia
+ D- Cm2  
...
.......
...
año (n-2)  
Se cobran dividendos y se paga comisión de custodia
+ Dn-2 - Cmn-2  
año (n-1)  
Se cobran dividendos y se paga comisión de custodia
+ Dn-1 - Cmn-1  
año (n)  
Se cobran dividendos, se paga comisión de custodia y se venden las acciones
+ D- Cm+ Iv
x
Siendo " Ic " el precio pagado por la compra (incluyendo comisiones)  
Siendo " D1 " los dividendos percibidos el primer año  
Siendo " Cm1 " la comisión de custodia pagada el primer año  
Siendo " Iv " el precio de venta (descontando las comisiones pagadas)  
Todos estos flujos se descuentan al momento inicial y se iguala prestación con contraprestación. El tipo " i" nos da la rentabilidad anual efectiva de la operación.
Periodo
Prestación
Contraprestación
(Valor en el momento 0)
(Valor en el momento 0)
x
año 0  
- Ic  
  
año 1  
+ ((D1 - Cm1) * (1 -t)) / (1 + ie) 
año 2  
+ ((D1 - Cm1) * (1 -t)) / (1 + ie)^2
...
...
año (n-2)  
+ ((D1 - Cm1) * (1 -t)) / (1 + ie)^n-2
año (n-1)  
+ ((D1 - Cm1) * (1 -t)) / (1 + ie)^n-1
año (n)  
+ ((D1 - Cm1) * (1 -t)) / (1 + ie)^n
+ (Iv - (Iv - Ic) * (1-t)) / (1 + ie)^n
¿Que hemos hecho?

Hemos llevado al momento 0 todos los flujos. La prestación (la compra de las acciones) no se ha descontado ya que se encontraba en el momento inicial.
Cada flujo de la contraprestación (beneficios = dividendos - comisiones pagadas) se ha multiplicado por (1 - t) para depurar el efecto del pago de impuestos.

El último año hemos descontado, por una parte, el dividendo menos las comisiones, y por otra, los ingresos por la venta. A estos ingresos por venta le hemos restado los impuestos que se producen por las plusvalías obtenidas (Iv - Ic). 

Ejemplo: Se adquieren 1.000 acciones de Telefónica por 3.000 ptas. cada una. Se paga una comisión de compra de 15.000 ptas. Estas acciones se venden 3 años más tarde por 3.150 ptas. cada acción. Las comisiones de venta ascienden a 12.000 ptas.

Durante este periodo se han cobrado los siguientes dividendos y se han pagado las siguientes comisiones de custodia:
Periodo  
Dividendos  
Comisión de custodia
x
1º año  
+50.000
-12.000  
2º año  
+60.000
-15.000  
3º año  
+70.000
-18.000  

Calcular la rentabilidad de la operación:


Se aplica la ley de equivalencia financiera  
x
luego,  
Prestación 
=
Contraprestación 
3.017.000
((50.000-12.000)*(1-0,3)/(1+ie)) +
((60.000-15.000)*(1-0,3)/(1+ie)^2) +
((70.000-18.000)*(1-0,3)/(1+ie)^3) +
+ (((3.138.000)+(3.138.000-3.017.000)*(1-0,3))/(1 + ie)^3)) 
x
luego, ie = 3,2412% 
x
Por lo tanto, la rentabilidad anual obtenida en esta operación ha sido de 3,24%